Введение

Модель Фанга достаточно широко используется в механике больших деформаций, в частности потому, что её устанавливающие уравнения описываются только двумя параметрами C и β, что упрощает анализ [1-3]:

, (1)

где W – плотность энергии деформируемого тела, σ – механическое напряжение, λ – коэффициент деформации, I1 = λ2 + 2/λ – первый инвариант тензора конечных деформаций Коши-Грина для одноосного растяжения с учетом уравнения несжимаемости

и, как следствие, соотношения

[4].

В литературе гиперупругая модель Фанга позиционируется как феноменологический математический подход, который используется для описания нелинейного механического поведения материалов и мягких биологических тканей, проявляющих гиперупругие свойства (то есть способных к большим обратимым деформациям). В компактной форме модель Фанга может быть записана в виде

W = c · (exp(Q) − 1),

где c – положительная константа, связанная с конкретными материалами; Q – полином, который учитывает величину деформации и значения материальных констант. В коммерческих пакетах конечно-элементного анализа (ANSYS, Abaqus и др.) модель Фанга не является «встроенной» по умолчанию, как, например, модели Муни - Ривлина или Огдена. Ограничения модели также связаны с тем, что модель является феноменологической – она не объясняет детально микроскопические механизмы деформации, а лишь параметрически описывает макроскопическое поведение. Линейная модель представлена законом Гука

σ = Eε = E(λ – 1),

где E – модуль Юнга, ε – относительная деформация.

Понимание и количественная оценка механических свойств тканей молочной железы тела человека и оболочек грудных протезов являются предметом интереса исследователей – биомехаников и пластических хирургов в течение последних двух десятилетий.

В США грудные импланты установлены около 3.5 млн женщин [5]. Одновременно всё больше женщин решают удалить их [6]. Частично это обусловлено несовместимостью эластомерных свойств синтетических оболочек маммопротезов и параметров пассивных деформационных свойств мягких тканей молочной железы. И те, и другие сильно нелинейны и мало изучены.

Цель работы – исследовать деформационные свойства силиконовых материалов с помощью формально определенной линейной и гиперупругой модели Фанга. Определить влияние времени эксплуатации силиконовых грудных протезов на параметры деформационных моделей.

Материалы и методы исследования

При расчетах в системе компьютерной алгебры Mathcad 15.0 с помощью функционала genfit использовались исходные данные σ-λ из [7], полученные для одноосного случая при деформации 0-300%. Испытания проводились на испытательном стенде Zwick/Roell, деформация измерялась с помощью видеодатчика VideoExtens по специальным меткам. При долговременном использовании измерения выполняли через определенные интервалы времени: 0, 6.0, 6.5, 7.0, 8.0, 9.0, 9.5, 10.0, 11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0, 15.5, 16.0, 17.0 и 19.0 лет. Испытывали по 5 образцов одной оболочки имплантов марки Eurosilicone (Франция).

Среднее значение упругого модуля Eср рассчитывали по формуле

,

где E(λ) – дифференциальный модуль Юнга, который находили из соотношения

. (2)

Значение начального модуля E0 вычисляли средствами Mathcad как ,

минимальное – с помощью функционала Minimize (E, λ). При расчетах точности моделирования применяли стандартные показатели описательной статистики (табл. 1).

Результаты исследования и их обсуждение

Подгонка моделей. Кривые «инженерное напряжение – деформация» (σ – λ) через 19 лет эксплуатации в организме женщин показаны на рис. 1.

Видно, что модельные кривые в целом повторяют результаты, полученные опытным путем. Количественно ошибки аппроксимации рассмотренными моделями представлены в таблице 1.

Рис. 1. Кривые «напряжение – деформация» силикона Eurosilicone: экспериментальные данные (1), в линейной модели (2) и модели Фанга (3)

Таблица 1

Статистические показатели гиперупругих моделей (ошибки аппроксимации)

Примечания. SD – стандартное отклонение (standard deviation), Δ – максимальная абсолютная погрешность, δ – максимальная приведенная погрешность, R – коэффициент корреляции Пирсона.

Из таблицы 1 следует, что ошибки аппроксимации обеих моделей – примерно одного порядка, то есть рассмотренные модели приблизительно одинаково точно описывают механические свойства силиконового материала. При этом коэффициент корреляции модельных и экспериментальных данных модели Фанга немного выше (0.996 и 0.994).

Упругие модули. Представляет интерес поведение упругих модулей моделей (рис. 2). Если модуль упругости линейной модели это постоянная величина 0.53 МПа, не зависящая от деформации (∂E/∂λ = 0) и его графиком служит прямая линия, параллельная оси абсцисс, то упругий модуль в модели Фанга ведет себя немонотонно: сначала убывает (∂E/∂λ < 0) от E =0.736 МПа, в интервале деформаций больше двух – возрастает (∂E/∂λ > 0) до E = 1.171 МПа при λ = 3.935 ≈ 4, т. е. при удлинении почти в 4 раза. Минимальное значение модуля Юнга в модели Фанга равно 0.409 МПа, среднее – 0.614 МПа., т. е. незначительно выше, чем упругого модуля в линейной модели. Таким образом, модель Фанга дает несколько завышенное значение жесткости силикона по сравнению с линейной (гуковской). Отметим также, что E > 0, что говорит о выполнении критерия Хилла – Друкера механической стабильности [8; 9] для обеих моделей ((∂σ/∂λ > 0).

Рис. 2. Модули Юнга в линейной модели (1) и модели Фанга (2), МПа, через 19 лет эксплуатации

Динамика параметров моделей за 19 лет эксплуатации. Безусловно, важным является поведение силиконов в период их эксплуатации в виде оболочек грудных имплантов. Грудные имплантаты подвержены износу под воздействием времени и взаимодействия с организмом вплоть до разрыва их оболочек, повторной операции и удаления имплантов [10]. В связи с этим были произведены расчеты параметров рассматриваемых моделей через определенные промежутки времени нахождения силиконовых имплантов внутри организма женщин-волонтеров. Результаты вычислений проиллюстрированы на рисунке 3 и в таблице 2.

Таблица 2

Параметры линейной модели (E) и модели Фанга (C, β) в зависимости от времени нахождения силикона в организме человека

Из рис. 3 можно сделать вывод, что параметр C модели Фанга почти монотонно (коэффициент детерминации R2 = 0.9198) снижался за все время наблюдений от 0.525 МПа до 0.245 МПа со средней скоростью по крайним точкам -0.014 МПа/год (-2.81 %/год), а безразмерный параметр β увеличивался (R2 = 0.7986) от 0.015 до 0.049 со средней скоростью 0.0018/год (11.92%/год). За все время наблюдений постоянная C уменьшилась более чем в 2.14 раза, а β увеличилась в 3.26 раза. При этом коэффициент β первые 6-7 лет практически не менялся. Обратим внимание на значение параметра C модели после 19 лет нахождения импланта в организме (табл. 2): 0.245 МПа. Следовательно, упругий модуль в исходном недеформированном состоянии должен быть в 3 раза больше: E0 = 3C = 0.735, что не противоречит рисунку 3.

Рис. 3. Параметры линейной модели (E) и модели Фанга (C, β) ± стандартная ошибка среднего m в зависимости от времени нахождения силикона в организме человека. R2 – коэффициент детерминации

Что касается характеристики другой (линейной) модели – модуля Юнга, то он практически монотонно (R2 = 0.9883) уменьшался, подобно параметру C модели Фанга, от 1.02 до 0.53 МПа со скоростью -0.026 МПа/год (-2.54 %/год). В результате за время наблюдений модуль Юнга уменьшился в 1.93 раза. Коэффициент корреляции в уменьшении параметра C и модуля E составил 0.979, что соответствует очень сильной связи между параметрами и не противоречит формуле (2). Линии тренда C и E при этом практически параллельны. Отметим, что полученные данные не противоречат литературным данным для силиконового каучука, полученным авторами [11]. Вывод, который можно сделать по данному разделу: параметр C модели Фанга может использоваться как мера жесткости материалов и тканей наравне с модулем Юнга.

Наравне с этим подчеркнем, что, однако, критерий допустимого снижения уровня механических свойств материала, который бы позволил оценить безопасный срок использования имплантов без их значимой деградации, пока не установлен и должен стать предметом дальнейших исследований. При положительном решении этого вопроса можно будет утверждать, что модели гиперупругого материала и формально определенные стандартные модели представляют собой надежный инструмент для прогнозирования поведения оболочек протезов при различных условиях нагружения, что может позволить оптимизировать конструкции и потенциально гарантировать их долгосрочную эксплуатацию. Отметим, что под деградацией свойств материала оболочек имплантов может подразумеваться следующее. При длительном нахождении в организме происходит взаимодействие оболочки протеза с тканями, изменяющее его свойства в результате химических реакций, изменения температуры, механического трения и износа парапротезной капсулы, что меняет упругие и прочностные характеристики оболочки протеза. Кроме того, в результате механических воздействий в оболочке протеза накапливаются микроповреждения, которые со временем под действием нагрузок или травм могут привести к разрыву оболочки [5]. Также авторы предполагают уменьшение плотности сшивки полимеров оболочки при долговременной эксплуатации, что требует дополнительных исследований.

«Смягчение» параметров гиперупругих моделей по мере увеличения срока эксплуатации материала Eurosilicone также продемонстрировали постоянные E линейной модели (R2 = 0.988) и C10 модели Муни – Ривлина (R2 = 0.979) при коэффициенте взаимной корреляции между ними 0.977. Коэффициент корреляции C10 и C составил 0.916. Это позволило нам в заключение остановиться еще на одной интерпретации параметров моделей, а именно: C (Фанга), E (линейной) и C10 (Муни – Ривлина).

Плотность сшивки. Сильная корреляция постоянной C модели Фанга силикона с упругими характеристиками материалов позволяет нам в заключение остановиться на физическом смысле этой постоянной и её интерпретации. Дело в том, что за упругие свойства материалов и биотканей отвечает не только модуль Юнга E в линейной модели, но и косвенно постоянная C10 гиперупругой 2-параметрической модели Муни – Ривлина. При этом авторы [12] предложили оценивать плотность сшивки полимеров (cross-linked density) по формуле:

где R = 8.31 Дж/моль·K – универсальная газовая постоянная, T – температура. Аналогичная по смыслу формула для перекрестно сшитых полимеров дана в [13]. Действительно, плотность сшивки связана с упругими свойствами материалов. В рамках модели аффинной сети (affine network model) плотность сшивки полимеров пропорциональна аффинному модулю Юнга Eaffine согласно предсказываемому теорией соотношению

Eaffine = 3νkBT,

где ν – число плотности сшитых нитей сети, kB – постоянная Больцмана, равная 1.38·10⁻²³ Дж/К [14]. Как известно, сшивка макромолекул резко меняет параметры физических свойств полимеров, так как реакция сшивания приводит к увеличению степени их полимеризации. Как известно, силиконы – это кремнийорганические полимеры (полиорганосилоксаны). Чем больше степень сшивания и число поперечных связей между цепочками полимеров, тем выше механические свойства последних [15].

Согласно формуле (3), плотность сшивки силиконов Eurosilicone за 19 лет, прошедших после установки протезов, должна уменьшиться с 251.79 до 119.67 моль/м3, т. е. на 52.48%. С другой стороны, вследствие корреляции C и E (C10) можно утверждать, что n ~ C и плотность сшивки уменьшается за 19 лет на 53.32%, что очень близко к предыдущей оценке. Одновременно, по литературным данным, по мере эксплуатации ухудшаются функциональные свойства оболочек силиконовых имплантов: уменьшаются значения максимального относительного удлинения до разрыва и срок службы [16].

Отметим, что плотность сшивки Eurosilicone экспериментально не измерялась и может стать предметом исследования в будущем.

Выводы

1. Гиперупругая феноменологическая модель Фанга весьма удовлетворительно описывает механические свойства силиконовых материалов, используемых для оболочек грудных протезов (приведенная погрешность 7.51%, коэффициент корреляции экспериментальных и модельных данных 0.996).

2. При деформировании на 292.5% модуль Юнга силиконового материала Eurosilicone в модели Фанга немонотонно изменяется от 0.736 до 1.171 МПа, модуль Юнга в линейной модели 0.53 МПа и постоянен по величине.

3. Параметр C модели Фанга почти монотонно (R2 = 0.9198) снижался за все время эксплуатации в организме человека от 0.525 до 0.245 МПа со скоростью -2.81 %/год, а безразмерный параметр β увеличивался (R2 = 0.7986) от 0.015 до 0.049 со скоростью 11.92%/год.

4. Коэффициент корреляции в уменьшении параметра C модели Фанга и модуля E линейной модели составил 0.979, что соответствует сильной связи между параметрами, в результате параметр C может также применяться в качестве характеристики жесткости материалов и биотканей.

5. Установлено, что «размягчение» параметра C модели Фанга коррелирует с уменьшением постоянной C10 модели Муни – Ривлина и при принятых предпосылках может характеризовать снижение плотности сшивки силиконов.

6. В перспективе полученные зависимости параметров модели Фанга и линейной модели позволяют оценить скорость деградации силиконовых материалов в организме, обусловленной структурными изменениями материалов.